Здесь вы можете
увидеть трехмерные модели
всех известных в настоящее время
однородных многогранников,
а также первых представителей бесконечных семейств
призм и антипризм.
В таблице ниже
представлен полный список однородных многогранников и их некоторые характеристики.
Вы можете перемещаться между многогранниками при помощи кнопок
, при этом возможны три варианта порядка перемещения: обычный (как в таблице),
по визуальному сходству
и сходству типов плоскостей. Последнее упорядочивание важно для поиска звездчатых форм.
Вы можете выбрать различные варианты раскраски трехмерных моделей, а также смотреть строение граней и вершин.
Обладатели стереоочков могут настроить режим стереоскопического просмотра и любоваться объемными изображениями.
Трехмерную модель любого однородного многогранника можно изготовить из бумаги
или добавить в избранное,
чтобы затем
сохранить на локальный диск
для применения в собственных проектах или
использовать для создания оригинальных
электронных открыток
на этом сайте.
Вы можете получить прямую ссылку на текущий многогранник и
поделиться ею в социальной сети .
Также на основе однородного многогранника можно породить огромное количество прекрасных и разнообразных
звездчатых форм.
В следующей таблице представлены 75 известных в настоящее время однородных многогранников (Uniform polyhedron),
а также первые представители бесконечных семейств призм и антипризм.
Список однородных многогранников открывают пять "Платоновых" тел - известных с глубокой древности правильных выпуклых многогранников,
т.е. таких, у которых в каждой вершине сходится одинаковое количество одинаковых правильных многоугольников.
Далее следуют полуправильные выпуклые многогранники, открытые Архимедом. У них в каждой верщине сходятся
правильные многоугольники, но не обязательно одинаковые. Одинаковыми должны быть порядок следования
многоугольников в каждой вершине и их взаимное расположение.
Этому определению удовлетворяют в точности 18 тел (включая Платоновы), а также бесконечные семейства
призм и антипризм (скошенных призм).
Дальнейшее расширения ряда (полу)правильных многогранников становится возможным благодаря введению Кеплером
правильных звездчатых многоугольников, которые также могут образовывать грани многогранников.
Звездчатые многоугольники и как следствие соответствующие звездчатые многогранники не являются выпуклыми.
По аналогии с Платоновыми телами выделяют правильные звездчатые многогранники. Таковых
существует в точности 4, это тела Кеплера - Пуансо. Завершают ряд многогранников полуправильные звездчатые
многогранники, аналоги Архимедовых тел, а также бесконечные семейства звездчатых призм и антипризм.
Все эти многогранники вместе называют однородными, всего таковых существует 75 (без призм).
Таким образом, однородный многогранник - это значит построенный из правильных (звездчатых) многоугольников,
причем все вершины многогранника одинаковые.
Одинаковость вершин, означающую возможность путем поворота многогранника совместить любую вершину
с любой другой, можно определить двумя способами:
- чтобы грани одной вершины совместились с соответствующими гранями другой вершины,
- чтобы все грани многогранника совместились с соответствующими гранями этого же многогранника.
Первое определение менее жесткое, оно позволяет телам №13 (ромбокубоктаэдр) и №41 (квазиромбокубоктаэдр)
существовать в двух вариантах: нормальном (удовлетворяющим также и второму определению)
и "псевдо" (удовлетворяющим только менее жесткому первому определению).
Благодаря требованию однородности (одинаковости вершин)
однородные многогранники являются наиболее правильными и совершенными звездчатыми многогранниками,
что конечно вызывает к ним особый математический интерес.
Только к 1954 году группе Коксетера удалось открыть последние однородные многогранники,
восполнив существующие тысячи лет пробелы. И только в 1970 году С.П. Сопов доказал,
что других однородных многогранников не существует.
В следующей таблице представлен полный список однородных многогранников.
О раскраске моделей многогранников
Раскраска трехмерных моделей многогранников проводится для придания эстетичного внешнего вида,
а также с целью подчеркнуть особенности строения тела и его симметрию.
Действенный способов подчеркнуть особенности строения тела это окрашивание в общий цвет частей модели,
имеющие одинаковое происхождение с точки зрения строения тела.
Аналогично для выделения симметрии одинаково окрашиваются части тела, которые переходят друг в друга
при всех преобразованиях из некоторой (желательно наиболее мощной) подгруппы группы симметрии тела.
В остальном же мы следуем обычному принципу раскраски карт в минимальное число цветов.
Сейчас на сайте реализованы два принципиально разных способа выделения особенностей строения тела.
В первом способе подчеркивается принадлежность частей модели определенным плоскостям,
соответственно в общие цвета окрашиваются все части модели, лежащие в общей плоскости.
Этот способ является основным для раскраски однородных многогранников,
каждая грань которых окрашена с обеих сторон в единственный цвет.
Дополнительная вариация первого способа - раскраска всех экземпляров граней одного типа в общий цвет.
Это самый примитивный вариант раскраски,
его можно использовать разве что для быстрого определения типа какой либо грани.
Во втором способе подчеркивается факт построения модели из отсеков,
соответственно одинаково окрашиваются части модели, принадлежащие общему отсеку. Этот вариант основной для раскраски звездчатых форм.
Вы можете выбирать нужный способ раскраски по своему усмотрению.
Предусмотрен также режим автоматического выбора раскраски.
В этом режиме для звездчатых форм используется вариант раскраски отсеков в общий цвет,
кроме тех случаев, когда это приводит к одноцветному телу.
Тогда уже используется одинаковая раскраски граней,
причем по возможности параллельные грани окрашиваются одинаково.
Для однородных многогранников автоматическая раскраска более сложная.
Мы заботливо подобрали варианты раскраски,
наилучшим образом отражающие особенности строения и симметрию каждого однородного многогранника.
В ряде случаев принцип раскраски карт сознательно нарушен, чтобы число цветов не было чрезмерным.
Например, в режиме автораскраски большой икосаэдр раскрашен в 5 цветов "икосаэдрально",
хотя необходимо десять цветов.
А у большого икосододекаэдра все пентаграммы раскрашены одинаково,
поскольку их и так прекрасно видно.
В режиме одинаковой раскраски граней принцип раскраски карт строго соблюдается,
т.е. большой икосаэдр будет десятицветным.
В тоже время наоборот, в режиме автораскраски мы часто идем на увеличение числа цветов, чтобы подчеркнуть симметрию тела.
Например, при автораскраске икосаэдр окрашивается в пять цветов,
хотя достаточно трех, а додекаэдр в шесть цветов,
хотя достаточно четырех.
В режиме одинаковой раскраски граней икосаэдр будет трехцветным,
а додекаэдр четырехцветным.
К сожалению, для сложных моделей раскраска в минимальное число цветов требует слишком много времени,
и используемое нами число цветов не обязательно строго минимальное.
Такие случаи отмечены отдельно в таблице ниже.
Таблица - Список всех однородных многогранников (см. ещё список типов граней).
Примечания:
1. Строение вершины указывает, в каком порядке какие (звездчатые) многоугольники сходятся в вершинах многогранника.
2. В,Р,Г - количество вершин, ребер и граней. Внутренние точки пересечения сторон звездчатых многоугольников не считаются вершинами. Грани, расположенные в одной пл-ти, считаются за одну грань.
3. Группа симметрии - число собственных вращений группы симметрии тела. Большинство групп содержит также не собственные (зеркальные) преобразования,
в противном случае добавлен знак "-" (признак курносости)
4. Типы граней - список мощностей групп собственных вращений каждого типа граней (+ для проходящих через центр).
5. Отсеков - количество различных типоотсеков, которые грани однородного многогранника ограничивают в пространстве.
Зеркальные варианты типоотсеков считаются различными. Если исходное тело обладает зеркальной симметрией, то
ЗС определяет количество зеркально-симметричных типоотсеков, остальные типоотсеки при этом всегда образуют энтаморфные пары.
6. Цветов - количество цветов, в которые раскрашена модель. Алгоритм раскраски стремится соблюсти принцип ракраски карт в минимальное число цветов,
но при этом сохранить в раскраске симметрию многогранника. Символ * означает, что принцип раскраски карт нарушен.
7. Всех В,Р,Г - количество вершин, ребер и граней тела, включая внутренние точки самопересечения.
и любоваться объемными изображениями.
или добавить в избранное
,
чтобы затем
сохранить на локальный диск
для применения в собственных проектах или
использовать для создания оригинальных
электронных открыток
на этом сайте.
Вы можете получить прямую ссылку на текущий многогранник и
поделиться ею в социальной сети 
.
Также на основе однородного многогранника можно породить огромное количество прекрасных и разнообразных
звездчатых форм.
