Сопов С.П.
Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников

Многогранник Р называется однородным, если все его грани – правильные многоугольники, а любые две вершины могут быть переведены друг в друга при помощи симметрических преобразований так, что многогранник при этом переходит сам в себя. Гранями могут быть выпуклые и звездчатые правильные многоугольники.

Связный однородный многогранник без кратных вершин и ребер называется элементарным.

Как известно [1], конечная группа G самосовмещений P имеет неподвижную точку, являющуюся центром описанной вокруг P сферы. Элементами G могут быть только собственные вращения B_i вокруг инвариантной оси и вращательные симметрии С_i представляющие собой произведение симметрии относительно плоскости и вращения вокруг прямой, перпендикулярной плоскости симметрии. Если G содержит центральную симметрию I, то любая вращательная симметрия может быть представлена в виде

Из всех конечных групп движений нас будут интересовать только группа самосовмещений куба S₄ × {I} и группа самосовмещений икосаэдра A₅ × {I}. Все остальные конечные группы либо являются подгруппами этих двух, либо соответствуют группам самосовмещений бесконечных серий призм и антипризм D_n × {I} [2].

В [3] был предложен перечень известных элементарных многогранников (см. также список однородных многограников), но полнота этого перечня не была доказана. В настоящей статье доказана

Теорема А. Существует только 75 элементарных однородных многогранников, отличных от призм и антипризм.

Метод доказательства этой теоремы заключается в следующем. Выбираем на сфере точку A₀ и подвергаем ее всем преобразованиям из G. Количество образов A₀ равно порядку G либо является делителем ее порядка. Выделим на сфере область Δ₀, каждая точка которой расположена не дальше к точке A₀, чем к любому из образов A₀. Точки A_i, являющиеся образами A₀, будут в свою очередь иметь соответствующие им области Δ_i. Все эти области равны между собой и покрывают в своей совокупности всю сферу. Каждой точке сферы соответствует единственная точка из Δ₀. Для групп S₄ × {I} и A₅ × {I} Δ₀ – прямоугольный треугольник. Будем называть Δ₀ фундаментальным треугольником группы G. Выпуклая оболочка точек A_i есть выпуклый многогранник, имеющий G своей группой самосовмещений.

Определим векторы r_i, с началом в центре сферы и концами в точках A_i, i = 0, 1, 2, ..., g-1, где g – порядок G. Если A₀ находится на границе Δ₀, то некоторые r_i совпадают. Кроме того, определим векторы ρ_i с началом в A₀ и концами в A_i, (i=1, 2, ..., g-1). У однородного многогранника P все ребра равны, а каждой вершине инцидентно ровно q правильных многоугольников, не обязательно одинаковых. Поэтому для того, чтобы точки A_i были вершинами однородного многогранника P, необходимо выполнение следующих условий:

• 1) существует по крайней мере три вектора r_j, скалярные произведения которых на вектор r₀ равны;
• 2) существует замкнутый цикл ω₀ из векторов ρ_j, удовлетворяющим условию 1), такой, что угол между каждыми двумя соседними векторами ω₀ равен углу правильного многоугольника. При каждой вершине A_i мы получим цикл ω_i, подвергая векторы ρ_j из ω₀ всем преобразованиям из G;
• 3) в плоскостях, определенных соседними векторами из ω₀ должны лежать правильные многоугольники, смежные ребра которых являются соседними векторами из ω_i.

Очевидно, что эти условия являются и достаточными для существования однородного многогранника. Действительно, многогранник с вершинами в точках A_i, ребрами которого являются векторы ρ_j и их образы, а гранями – многоугольники, удовлетворяющие условию 3), есть однородный.

Составляя все возможные скалярные произведения и приравнивая их попарно, мы получим уравнения для определения координат A₀. Определяя углы между векторами ρ_j и проверяя выполнение условий 2) и 3), мы найдем все точки A₀, образы которых служат вершинами однородных многогранников.

Идея этого метода принадлежит А. В. Погорелову.

В [4] были найдены все однородные многогранники, грани которых перпендикулярны инвариантным осям вращений. Следовательно, для доказательства Теоремы А нам остается найти многогранники, грани которых не все перпендикулярны осям вращений.

1. Некоторые вспомогательные результаты

Преобразования из G, оставляющие грань многогранника P инвариантной, образуют группу H порядка h, которая является подгруппой группы G порядка g. Для группы S₄ × {I} порядок g= 48, а для A₅ × {I} порядок g= 120.

Пусть Г_n – количество n - угольных граней однородного многогранника P, переходящих друг в друга при помощи преобразований из G. Назовём такие грани эквивалентными.

Теорема 1. Г_n равно индексу группы G по подгруппе Н.

Доказательство. Преобразования, оставляющие плоскость грани многогранника P инвариантной, образуют группу F порядка f. В каждой такой плоскости располагаются компланарные, эквивалентные многоугольники, количество которых равно индексу F по подгруппе H, т. е. f / h. Количество же плоскостей, содержащих грань P, равно индексу группы G по подгруппе F, т. е. g / f. Порядок фактор группы G / H равен Г_n = (g / f) * (f / h) = g / h, что и требовалось доказать.

Пусть P имеет N₀ вершин. Тогда N₀ является делителем g [5], т. е. g / N₀ = m.

Следствие. Если вершине P инцидентно q_n правильных n - угольников {n}*, то h = m n / g_n.

Действительно, Г_n = N₀ q_n / n [6]. Поэтому

Примечание *: в дальнейшем правильный n-угольник будем обозначать символом Шлефли {n}, а угольную звезду {n/d} – n.

Грань многогранника P, перпендикулярную k - кратной оси вращения, будем называть гранью типа γ_k (k = 2, 3, 4, 5). Если группа преобразований H, оставляющая грань инвариантной, имеет порядок h ≥ 3, то эта грань типа γ_k (k = 2, 3, 4, 5). Действительно, если H содержит только собственные движения, то утверждение справедливо. Если же H содержит несобственные движения, то, как известно [2], количество несобственных движений в H равно количеству собственных движений, т. е. в H есть вращения, отличные от тождественного.

Пусть теперь h = 2. Тогда H может иметь, кроме тождественного преобразования Е, еще одно преобразование β, такое, что β² = Е. Таким преобразованием может быть: B_π – поворот на угол π, С₀ – отражение в плоскости или центральная симметрия I. В первом случае грань типа γ₂, во втором и третьем случае – грани типа γ₁ и γ₀.

Если h=1, т.е. грань переводится в себя только тождественным преобразованием, то такую грань будем называть гранью типа γ₀. Очевидно, что грани типа γ₀, γ₀ и γ₁ могут быть гранями типа γ_k (k = 2, 3, 4, 5).

Для доказательства Теоремы А достаточно найти все элементарные однородные многогранники, имеющие грани типа γ₀, γ₀ или γ₁.

Теорема 2. Если вершине элементарного однородного многогранника P инцидентно три грани (q = Σq_i = 3), то все они типа γ_k (k = 2, 3, 4, 5).

Доказательство. Из следствия теоремы 1 имеем

Пусть h = 1. Тогда из (1) следует, что q_n = mn ≥ 3. Но, согласно (2), q_n < 3. Следовательно, при q = 3 многогранник P не может иметь граней типа γ₀.
Пусть h = 2. Тогда (1) имеет вид 2q_n = m n. Это возможно только при q_n = 2, m = 1, n = 4. Если вершине многогранника P инцидентно три грани, из которых два квадрата, то это может быть только призма [7]. Так как N₀=g, то это может быть призма, в основании которой лежит {24} или {60}, группы которых не совпадают с группами S₄ × {I} и A₅ × {I}. Если же в основании призмы лежит {n} при n ≠ 24 и n ≠ 60, то это будет несвязный неэлементарный многогранник. Теорема 2 доказана.

Будем говорить, что P имеет ребро С или В, если инцидентные ему вершины преобразуются друг в друга соответственно несобственным или собственным движением. В частности, если С есть зеркальное отражение в плоскости, то ребро С₀, а если В есть поворот на угол π, то ребро В_π.

В дальнейшем нам потребуется следующая

Лемма. Элементарный однородный многогранник P, вершине которого инцидентно четыре грани, не может иметь двух граней типа γ₁, инцидентных общему ребру С₀.

Доказательство проведем отдельно для группы S₄ × {I} и A₅ × {I}. У икосаэдра все плоскости симметрии переходят друг в друга при преобразованиях из A₅ × {I}. У куба же плоскости симметрии разбиваются на два типа. Три из них проходят через середины ребер и не содержат вершин, а остальные шесть содержат по два ребра и четыре вершины куба. Обозначим их через L₃ и L₆ соответственно. Если P имеет N₀ = g, то ни одна плоскость симметрии не проходит через вершины P.

В случае группы S₄ × {I}, согласно теореме 1, эквивалентных граней типа γ₁, должно быть 24. Предположим, что утверждение леммы неверно. Тогда каждой вершине P инцидентно 2 либо 3 грани типа γ₁, т. е. q_n = 2, 3. Докажем, что N₀ = g. Как известно [6], Г_n = q_n N₀ / n, или

Пусть грань типа γ₁ перпендикулярна плоскости L₆. Каждой плоскости L₆, согласно теореме 1, перпендикулярны 4 эквивалентные грани типа γ₁. В каждой такой плоскости лежит четырехкратная ось вращения и перпендикулярная ей двукратная ось. Поворот вокруг этих осей на угол π переводит эту плоскость в себя. Если эквивалентные грани типа γ₁ инцидентны общему ребру С₀, то это ребро перпендикулярно двукратной или четырехкратной оси вращения и, следовательно, полностью содержится в одной из плоскостей симметрии, что невозможно.

Пусть теперь грань типа γ₁ перпендикулярна плоскости L₃. Каждой плоскости L₃ перпендикулярно восемь эквивалентных граней типа γ₁. Каждая такая плоскость содержит две взаимно перпендикулярные четырехкратные оси и две взаимно перпендикулярные двукратные оси. Угол между четырехкратной и двукратной осью равен π/4. Грани типа γ₁, перпендикулярные плоскости L₃, образуют пояс, сечение которого этой плоскостью есть {8}, {8/3} или {8/2}. Нетрудно убедиться, что в первых двух случаях плоскость симметрии проходит через вершины P, что невозможно. В последнем случае грани взаимно перпендикулярны и образуют два замкнутых пояса. Если n = 4, то это просто кубы, а P – неэлементарный многогранник. Если n = 6, то не существует вершинной фигуры с данными условиями.

Вершинной фигурой мы называем плоский многоугольник, вершины которого есть концы ребер, исходящих из данной вершины многогранника P, а стороны — диагонали (вершинные фигуры) граней, инцидентных данной вершине. Вершинной фигурой мы часто будем пользоваться в дальнейшем, характеризуя строение многогранника в окрестности его вершины.

Таким образом, для группы S₄ × {I} лемма справедлива.

В случае группы A₅ × {I}, согласно теореме 1, эквивалентных граней типа γ₁, должно быть 60. Уравнение (3) дает следующие решения: q_n=2, n=4, N₀=120; q_n=3, n=3, N₀=60; q_n=3, n=6, N₀=120. Мы получаем антипризму при N₀ = 60. В остальных случаях плоскости симметрии не могут проходить через вершины P. Каждой из пятнадцати плоскостей симметрии перпендикулярно четыре эквивалентные грани типа γ₁. В каждой плоскости симметрии лежат две двукратные оси вращения. Пусть две грани типа γ₁ имеют общее ребро С₀. Тогда, как и в случае группы S₄ × {I}, это ребро перпендикулярно двукратной оси. Так как через двукратную ось проходят две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, то одна из них должна полностью содержать ребро С₀, т.е. проходить через вершины P. Лемма доказана полностью.

Теорема 3. Если вершине элементарного однородного многогранника P инцидентно четыре грани (q = 4), то все они типа γ_k (k=2,3,4,5).

Доказательство. В [8] были найдены все однородные многогранники с неотрицательной эйлеровой характеристикой χ=N₀-N₁+N₂, где N₀, N₁, N₂ – соответственно количество вершин, ребер и граней P. Если q = 4, то N₁= 2N₀ и для χ<0 имеем N₂<N₀ ≤ g. Отсюда, согласно теореме 1, сразу следует, что P не может иметь граней типа γ₀. Если N₀ ≤ g/2, то P не может иметь граней типа γ₀ и γ₁. Поэтому доказательство теоремы достаточно провести для многогранников с χ < 0 и количеством вершин, равным порядку группы.

Пусть P имеет грань типа γ₀. Согласно теореме 1 и неравенству (3) вершине многогранника P могут быть инцидентны следующие грани типа γ₀: 1) три шестиугольника и 2) два квадрата. В первом случае из четырех граней при вершине P три проходят через центр сферы, что невозможно. Во втором случае два квадрата должны перемежать две другие грани, не имеющие ребер С₀. Таких граней должно быть меньше g/2. Для группы S₄ × {I}, согласно теореме 1, таких граней нет. Для группы A₅ × {I} такими гранями могут быть только два шестиугольника. Так как квадраты вписаны в большой круг сферы, описанной вокруг P, то шестиугольник вообще не может быть вписан в эту сферу. Следовательно, при q = 4 многогранник P не может иметь граней типа γ₀.

Пусть P имеет грань типа γ₁. По теореме 1 вершине многогранника P могут быть инцидентны два квадрата или три шестиугольника типа γ₁. Если вершине инцидентно три шестиугольника, то четвертая грань согласно лемме должна иметь все ребра С₀. Следовательно, она должна быть четноугольником типа γ_k (k=2,3,4,5). Если вершине инцидентно два квадрата типа γ₁, то по лемме либо каждая из двух других граней имеет ребра С₀, но не обязательно все, либо одна из них имеет все ребра С₀, а вторая совсем не имеет таких ребер. Поэтому, если вершине P инцидентно четыре грани и среди них есть типа γ₁, имеющие общее ребро, то все грани P – четноугольники.

Докажем теорему для группы S₄ × {I}.

Пусть в вершине P сходится три шестиугольника типа γ₁. Из (1) и (3) следует, что четвертой гранью может быть: 1) квадрат типа γ₂ с ребрами С₀, 2) шестиугольник типа γ₂ с ребрами С₀ и 3) восьмиугольник типа γ₄ с ребрами С₀. Второй случай невозможен по (2). Шестиугольники типа γ₁ могут быть перпендикулярны либо плоскости L₃, либо плоскости L₆ и чередуются с гранями типа γ_k (k=2,4). Плоскости L₃ перпендикулярно четыре восьмиугольника типа γ₄ или четыре квадрата типа γ₂. Следовательно, в первом и в третьем случае только 12 из 24 шестиугольников перпендикулярно плоскостям L₃. В каждой плоскости L₆ лежит одна двукратная и одна четырехкратная ось. Каждой из шести плоскостей L₆ перпендикулярно по два шестиугольника типа γ₁. Это невозможно.

Пусть вершине многогранника P инцидентно по два квадрата типа γ₁, имеющих общее ребро. Из (1) и (3) получаем, что двумя другими гранями могут быть: 1) {4} типа γ₂ с ребрами С₀ и {6} типа γ₃ с ребрами С₀; 2) {4} типа γ₂ с ребрами С₀ и {8} типа γ₄ с ребрами С₀, 3) {6} типа γ₃ с ребрами С₀ и {8} типа γ₄ с ребрами С₀; 4) два {8} типа γ₂, имеющие через одно ребра С₀. В первых трех случаях из каждой вершины P исходит три ребра С₀. Из простых геометрических рассуждений видно, что четвертое ребро В_π. Следовательно, оно перпендикулярно двукратной или четырехкратной оси вращения. Квадраты типа γ₁ образуют замкнутый пояс, их общие ребра В_π. Многогранник P вписан в сферу, поэтому все ребра В_π этого пояса параллельны. В силу структуры плоскостей симметрии это возможно лишь в случае, когда все ребра В_π параллельны четырехкратной оси. Но тогда все эти ребра С₀, а квадраты типа γ_k (k=2,4). В четвертом случае восьмиугольники типа γ₂ инцидентны квадратам по ребрам С₀. Так как {8} перпендикулярен к плоскости L₃ и плоскости L₆, то и квадраты типа γ₁ перпендикулярны плоскостям симметрии различных типов, что невозможно.

Пусть теперь квадраты типа γ₁ разделены другими гранями. Такими гранями могут быть: 1) два {8} типа γ₂, имеющие через одно ребра С₀; 2) {3} типа γ₃ с ребрами В и {8} типа γ₄ с ребрами С₀; 3) {4} типа γ₄ с ребрами В и {6} типа γ₃ с ребрами С₀; 4) {4} типа γ₄ с ребрами В и {8} типа γ₄ с ребрами С₀. Это легко получается из (1) и (3) с учетом того, что χ < 0 и в одной плоскости не может лежать более восьми вершин многогранника P [5]. Pассматривая замкнутые пояса из граней P, перпендикулярные плоскостям L₃ и L₆, мы, как и выше, приходим к выводу, что многогранников с данными гранями нет.

Итак, для группы S₄ × {I} теорема доказана.

Рассмотрим группу A₅ × {I}. В каждой плоскости симметрии икосаэдра лежат две взаимно перпендикулярные двукратные оси, две трехкратные и две пятикратные оси вращения.

Пусть вершине многогранника P инцидентно три {6} типа γ₁. Тогда на основании теоремы 1 граней типа γ₁ – 60. Из (1), (2) и (3) следует, что четвертой гранью при вершине может быть {4} типа γ₂ с ребрами С₀ или {10} типа γ₅ с ребрами С₀.

Аналогично последнему случаю с тремя шестиугольниками при вершине P опровергаются случаи 4), 6) и 7). В случае 5), рассматривая замкнутый пояс из квадратов типа γ₁ и γ₂ и считая радиус описанной сферы двумя различными способами, приходим к двум неравным значениям для R.

Осталось рассмотреть два последних случая при условии, что квадраты типа γ₁ не имеют общего ребра.

В случае 9) вершинам одного {12} инцидентно двенадцать или шесть {12} типа γ₃. Пусть два {12} имеют одну общую вершину. Для каждого {12} из двадцати существует параллельный ему {12}. Поэтому из вышеупомянутых двенадцати {12} по крайней мере две пары параллельны. Так как все они вписаны в сферу, то эти {12} образуют с инцидентным им {12} угол, равный π/2, т.е. угол между двумя трехкратными осями равен π/2, что невозможно. Пусть два {12} имеют две общие вершины, не инцидентные одному ребру. Тогда шесть {12} должны образовать с исходным {12} равные двугранные углы. Следовательно, должны существовать шесть трехкратных осей, образующих равные углы с данной трехкратной осью. Это невозможно.

Подобные рассуждения в случае 8) приводят нас к известным многогранникам, вписанным в усеченный куб с группой S₄ × {I}, грани которых типа γ_k (k=2, 3, 4). Новых элементарных многогранников мы не получаем.

Теорема 3 полностью доказана.

2. Однородные многогранники с группой S₄ × {I}

Расположим куб с ребром 2 в прямоугольной системе координат так, чтобы начало координат совпало с центром куба, а грани его были перпендикулярны координатным осям. В выбранной таким образом системе координат вершины куба имеют координаты (1; 1; 1), (-1; 1; 1), (-1; -1; 1), (1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1) и (-1; -1; -1), а плоскости симметрии куба записываются уравнениями: X=0, Y = 0, Z = 0 (плоскости L₃) и X=Y, X=-Y, X=Z, X=-Z, Y=Z и Y=-Z (плоскости L₆). Плоскости симметрии разбивают грани куба на сорок восемь треугольников Δ_i. Выберем среди этих треугольников тот, для координат каждой точки которого выполняется неравенство

Выберем внутри Δ₀ точку A₀ (X; Y; 1). Образы этой точки A_i ∈ Δ_i, i = 0, 1, ..., 47. Координаты некоторых точек A_i отличаются от координат A₀ только знаком, другие только порядком, остальные и тем и другим. Если возьмем точку A₀ на границе фундаментального треугольника Δ₀, то некоторые образы A_i совпадают. Границу Δ₀ составляют прямые X = 0, Y = 1 и X = Y (при Z = 1). Число образов точки, взятой на границе Δ₀, является делителем порядка группы. В частности, в вершинах Δ₀ совпадают по 8, 6 и 4 образа A₀. Эти точки определяют вершины правильных и квазиправильного многогранников с группой S₄ × {I}. Точка (0; 0; 1) и ее образы служат вершинами октаэдра, точка (1; 1; 1) – куба и (0; 1; 1) – кубооктаэдра.

Каждая точка A₀(X; Y; 1) и ее образы A_i служат вершинами многогранника, порождающего группу S₄ × {I}. Для того, чтобы этот многогранник был однородным, необходимо еще равенство всех его ребер. Это соответствует равенству скалярных произведений по крайней мере трех векторов r_i с началом в центре куба и концами в точках A_i на вектор r₀.

Для нахождения точек A₀(Х; Y; 1) с требуемыми свойствами мы предварительно приравняем скалярные произведения по два. Результаты приведены в таблице 2.

Прочерки в таблице 2 обозначают, что скалярные произведения не равны ни для одной точки из Δ₀, либо равны только в вершинах Δ₀, т.е. в точках (0; 0; 1), (1; 1; 1) и (0; 1; 1). Незаполненные клетки на пересечении двух скалярных произведений обозначают, что эти скалярные произведения равны вдоль некоторых линий в Δ₀. Это либо прямые линии, либо кривые второго порядка. В таблице отмечены только те скалярные произведения, которые совпадают на границе фундаментального треугольника Δ₀. Точка A₀(Х; Y; 1), удовлетворяющая только двум скалярным произведениям, не может определять вершин элементарного однородного многогранника, имеющего грани типа γ₀, γ₀ или γ₁. Кратность двух скалярных произведений не превышает четырех. Согласно теоремам 2 и 3, элементарные однородные многогранники при q ≤ 4 имеют все грани типа γ_k, k = 2, 3, 4. Поэтому для определения точек с кратностью больше четырех будем приравнивать Θ_i по три.

Найдем точки A₀, расположенные внутри Δ₀. Приравнивая Θ_i по три, мы получаем уравнения не выше четвертой степени для определения координат A₀. В таблице 3 приведены результаты решений этих уравнений с учетом того, что кратность A₀ больше четырех. Таких точек оказалось только семь. Остальные 32 точки имеют кратность меньше пяти.

Для того, чтобы многогранник с вершинами в исходной точке и ее образах был однородным, необходимо, чтобы ее грани были правильными многоугольниками. Определим углы между ребрами многогранника, инцидентными его вершине A₀. Направление этих ребер определяют векторы ρ_i = r_i - r₀. Из семи интересующих нас точек только две определяют векторы r_i, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3).

Итак, кроме перечисленных в [4] элементарных однородных многогранников, грани которых перпендикулярны инвариантным осям куба, существует только один элементарный однородный многогранник с группой S₄ - плосконосый куб.

3. Однородные многогранники с группой A₅ × {I}.

Таким образом, существует одиннадцать элементарных однородных многогранников (см. №18, №66, №67, №68, №69, №70, №71, №72, №73, №74, №75) с группой A₅ × {I}, среди граней которых есть грани типа γ₀, γ₀ или γ₁.

Используя результаты настоящей статьи и [4], мы приходим к выводу, что перечень элементарных однородных многогранников, приведенный в [3, табл. 7], (см. также следующую таблицу), полон. Таким образом, Теорема А полностью доказана.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность А. И. Медянику за ряд ценных советов и помощь при оформлении этой статьи, а также Ю.Л. Подпалову и В.И. Хатунцеву за численное решение уравнений на ЭВМ.

Литература

1. Н. S. M. Coxeter. Regular polytops. London, 1948.
2. Г. С. М. Кокстер. Введение в геометрию. Изд-во «Наука», 1966.
3. Н. S. М. Сохеtег, М.S.Lоnguet-Higgins, J.C.P. Miller. Uniform polyhedra. Philos. trans, roy. Soc, London, 246, № 916, ser. A, 401-450, 1954.
4. С. П. Сопов. Об одном классе однородных многогранников. Укр. геометр. сб., вып. 7, Изд-во ХГУ, Харьков, 1969.
5. С. П. Сопов. Конечность числа элементарных однородных многогранников ненулевой плотности. Укр. геометр, сб., вып. 5-6, Изд-во ХГУ, Харьков, 1968.
6. С. П. Сопов. Одна теорема об однородных многогранниках. Укр. геометр, сб., вып. 2, Изд-во ХГУ, Харьков, 1966.
7. В. А. 3алгаллер. Выпуклые многогранники с правильными гранями. Изд-во «Наука», 1966.
8. С. П. Сопов. О количестве однородных многогранников с неотрицательной эйлеровой характеристикой. Укр. геометр, сб., вып. 3, Изд-во ХГУ, Харьков, 1966.