Главная Многогранники Звезды Галерея Экспорт Из бумаги Лаборатория Гостевая

Звездчатые формы однородных многогранников

Здесь можно увидеть трехмерные изображения величайшего множества звездчатых форм однородных многогранников. Достаточно выбрать однородный многогранник (например, икосаэдр), и можно переключаться   между его звездчатыми формами. Кнопка   выбирает первую (завершающую) звездчатую форму, а кнопка   делает случайный выбор. За счет использования фильтра можно ограничиться звездчатыми формами только определенного вида. Кроме режима просмотра звездчатых форм предусмотрен режим отображения отсеков, из которых составляются звездчатые формы, а также режим ручного редактирования звездчатых форм. Обладатели стереоочков могут включить режим стереоскопического просмотра режим 3d стерео и любоваться объемными изображениями (настройка режима стерео).
Любую звездчатую форму можно добавить в избранное добавить в избранное и затем скачать на локальный диск  скачать звездчатую форму для применения в собственных проектах или использовать для создания оригинальных электронных открыток  создать электронную открытку на этом сайте. Вы можете получить прямую ссылку на текущую звездчатую форму и поделиться ею в социальной сети Друзьям ВКонтакте. Некоторые звездчатые формы легко изготовить из бумаги изготовить из бумаги .
Исходное тело:  Порядок: 
Звездчатая форма:  из Фильтр: 
Вид:      Раскраска 3D:      Грань №:               
 
Для корректного отображения 3d модели необходимы Adobe Flash Player версии выше 11.1, а также браузер с включенной поддержкой javascript и Сookies!
 
Необходим Adobe Flash player версии выше 11.1
Прямая ссылка:   поделиться Поделиться ссылкой ВКонтакте     размещение 3d модели на вашем сайте     скачать 3d модель

Коротко о звездчатых формах многогранников

Звездчатые формы однородных многогранников получаются посредством продолжения плоскостей граней исходного многогранника. Эти плоскости ограничивают некоторые (выпуклые) части пространства, называемые отсеками. Объединяя эти отсеки в различных сочетаниях, получаем новые звездчатые многогранники - звездчатые формы однородного.
Чем больше отсеков, тем больше различных вариантов их сочетания, и тем больше звездчатых форм можно получить. Однако не все комбинации отсеков допустимы. Правила Дж. Миллера требуют, чтобы новый многогранник был связным телом; имел ту же группу симметрии, что и исходный многогранник (по крайней мере для вращений); также каждая внешняя грань должна быть доступна из вне.

О выборе исходного многогранника

Чем более сложный однородный многогранник будет использован для создания звездчатых форм, тем большее их разнообразие может быть получено. Начать знакомство со звездчатыми формами однородных многогранников можно со звездчатых форм икосаэдра. У октаэдра и додекаэдра звездчатых форм меньше (одна и четыре), но они также очень важны и хорошо иллюстрируют процессы порождения отсеков гранями исходного многогранника и построения из них разнообразных звездчатых форм. Далее рекомендуется рассмотреть звездчатые формы более сложных тел, кубоктаэдра и икосододекаэдра. Количество звезд для последнего просто огромно, есть на самый взыскательный вкус.
Вообще исходный однородный многогранник можно выбирать любым. Но целесообразно учитывать два момента: что на данном сайте множества звездчатых форм ограничено определенными сериями, и что по ряду причин для некоторых различных однородных многогранников звездчатые формы могут быть одинаковыми или похожими .

Серии звездчатых форм, представленные на сайте

Фильтры предназначены для выбора звездчатых форм с определенным внешним видом. Фильтр "сплошные" соответствует многогранникам, каждая грань которых видна только с передней стороны. Звездоформы серии имеют вид сложных острых или тупых пиков, торчащих из общего центра, поэтому весьма привлекательны. Фильтр "Дырявые" соответствует многогранникам, у которых удалены внутренности и центр симметрии доступен из вне, это зачастую интересные воздушные многогранники. Фильтр "Единый отсек" соответствует телам, в которых различные экземпляры образующих тело отсеков нельзя раскрасить в разные цвета так, чтобы лежащие в одной плоскости соприкасающиеся грани имели одинаковый цвет. Фильтр "Выпуклые" соответствует простейшим выпуклым телам.
Для сложных многогранников число допустимых сочетаний отсеков огромно, поэтому на сайте представлена только часть звездчатых форм, которые перечисляются автоматически специальными комбинаторными алгоритмами. Всегда представлена под первым номером завершающая звездчатая форма, которая соответствует объединению всех отсеков. Следующие формы получаются путем удаления определённых отсеков (этот процесс можно назвать огранкой). Алгоритм пытается перебрать все возможные сочетания отсеков, удовлетворяющие определенным условиям. Для простых тел удаётся перебрать все самые красивые звездчатые формы и даже выполнить контроль "красоты" с участием человека. Для сложных многогранников перебор приходится сокращать. Например, для курносых многогранников перебор урезан до минимума: множество видимых отсеков завершающий звездчатой формы объявляется слоем. Отсеки слоя удаляются один за другим. Далее обнажившиеся отсеки объявляются новым слоем, и процесс огранки продолжается. Число звездчатых форм при этом равно числу отсеков исходного тела. К сожалению, для сложных тел представленные на сайте множества звездчатых форм существенно не полны, поскольку даже сами эти тела среди звездоформ не представлены (хотя они очевидно являются допустимыми звездчатыми формами). Этот недостаток в какой то мере компенсирует возможность ручного редактирования звездчатых форм.

Режим ручного редактирования звездчатых форм

Ручное редактирование звездчатых форм осуществляется при помощи двух инструментов: зубила и тюбика с гормоном роста. Если кликнуть по какой либо грани многогранника зубилом, соответствующий отсек будет выключен. А если использовать гормон роста, то на грани вырастит соответствующий отсек. Функция "Оболочка" выключает все недоступные из вне отсеки, что полезно для создания "дырявых" многогранников. Процесс редактирования всегда завершается функцией "Нормализация", при которой все недоступные из вне отсеки присоединяются к телу.
В настоящее время режим редактирования находится в стадии разработки.

О схожести звездчатых форм различных однородных многогранников

Случаи совпадения всех звездчатых форм. Легко заметить, что некоторые однородные многогранники являются звездчатыми формами других. Например, три тела Кепплера — Пуансо №19, №20, №21 являются звездчатыми формами додекаэдра. Естественно, для всех этих тел множества звездчатых форм совершенно одинаковые. Иначе говоря, звездчатые формы порождает не какой-то многогранник, а соответствующий набор ограничивающих отсеки плоскостей. В следующей таблице однородные многогранники сгруппированы по типам граней (плоскостей). В столбце "типы граней" через запятую перечислены мощности групп инвариантных вращений для каждого типа плоскости (знак + для плоскостей, проходящих через центр, для них мощность группы вдвое выше). Знание группы симметрии тела (см. соответствующий столбец таблицы) позволяет легко определить происхождение грани и количество соответствующих плоскостей (как индекс подгруппы грани в основной группе). Например
 5 - додекоэдральная грань;
 3 - тетраэдральная, октаэдральная или икосоэдральная грань (в зависимости от группы симметрии исходного тела);
 2 - ромбическая грань;
 1 - курносая грань.
Многогранники с одинаковым набором плоскостей с необходимостью должны иметь одинаковые типы граней и одинаковое число отсеков, эта ситуация встречается довольно часто (см. таблицу). Однако в действительности число строго совпадающих наборов плоскостей невелико, поскольку существенно также взаимное расположение плоскостей. В таблице в столбце "Расположение граней" для каждого типа грани дано относительно удаление от центра многогранника. Можно видеть, что кроме упомянутых выше звездчатых форм додекаэдра (№5, №19, №20, №21) одинаковые наборы плоскостей имеют только икосаэдр и большой икосаэдр, а также малые и большие варианты додекогемидодекаэдра (№47 и №63), додекогемиикосаэдра (№56 и №58) и икосогемидодекаэдра (№45 и №62).
Случай включения простых звездчатых форм в множество более сложных Возможна ситуация, когда все звездчатые формы одного многогранника встречаются среди звездчатых форм другого, более сложного. Это возможно, если набор плоскостей исходного многогранника дополняют плоскости более сложного. Например, звездчатые формы икосододекаэдра (плоскости 5,3) включают все звездчатые формы икосаэдра (плоскость 3) и додекаэдра (плоскость 5), а также их комбинации (объединения, пересечения, разности). Эта ситуация постоянно встречается в сложных многогранниках: всегда, когда плоскость соответствующего происхождения входит в сложный многогранник. Поэтому звездчатые формы додекаэдра и икосаэдра будут постоянно встречаться среди звездчатых форм более сложных многогранников (с икосаэдральной симметрией). Случаи точного включения нескольких плоскостей уже достаточно редкие, вот они все: №10 в №55, №29 в №40, №60 в №28 и №36 в №54.
Случай схожести звездчатых форм при различном расположении плоскостей Даже если одни и те же плоскости расположены немного по разному, то звездчатые формы вcе равно могут иметь много общего. В таблице многогранники специально отсортированы в порядке увеличении расстояний между плоскостями. Например, в ряду из 12 многогранников с №56 по №43 происходит постепенное увеличение удаления икосаэдральной (3) плоскости от центра тела (положение додекаэдральной плоскости считается фиксированным). При этом наблюдается постепенное изменение внешнего вида звездчатых форм, что особенно хорошо видно по завершающим звездчатым формам. Благодаря постепенному изменению, соседствующие в таблице многогранники будут иметь весьма похожие (завершающие) звездчатые формы.
Случай идентичности завершающих звездчатых форм Если к заданному набору плоскостей добавить новую плоскость, тип которой уже был представлен в заданном наборе, то это не приведет к изменению завершающей звездчатой формы. Руководствуясь все той же таблицей, легко найти соответствующие наборы однородных многогранников. Например, завершающие формы всех многогранников с типами граней 5; 5,5 и 5,5+ (в таблице от №5 до №29) одинаковые. Аналогичная ситуация для наборов плоскостей 5,3+; 5.3; 5,5,3, только нужно учитывать (как это делалось выше), что плоскости типов 5,3 могут располагаться на разном расстоянии от центра многогранника.
Таким образом таблица помогает ориентироваться в выборе исходных однородных многогранников для построения звездчатых форм. Чтобы перемещаться между однородными многогранниками в том порядке, как они представлены в таблице, можно выбрать порядок "типы граней".

Таблица - Типы граней однородных многогранников. Полный список однородных многогранников
Группа Типы граней Расположение граней Отсеков Звезд Название
Симметрия тетраэдра
12 3 1 1 1 №1, тетраэдр
12 3,3 1, 0.6 4 7 №6, усеченный тетраэдр
12 3,2+ 1, 0 2 2 №23, тетрагемигексаэдр
Симметрия куба и октаэдра
24 3 1 2 2 №2, октаэдр
24 3,3+ 1, 0 4 6 №24, октагемиоктаэдр
24 4 1 1 1 №3, куб
24 4,3+ 1, 0 3 4 №34, кубогемиоктаэдр
24 4,3 1, 0.239 9 42 №48, квазиусеченный гексаэдр
24 4,3 1, 0.866 9 35 №7, усеченный октаэдр
24 4,3 1, 1.155 8 22 №11, кубооктаэдр
24 4,3 1, 1.394 9 35 №8, усеченный куб
24 4,4,3 1, 0.172, 0.717 25 (19) 2301 №35, кубоусеченный кубооктаэдр
24 4,4,3 1, 0.414, 0.916 24 (18) 1368 №33, большой кубокубооктаэдр
24 4,4,3 1, 0.414, 1.056 24 (18) 2288 №25, малый кубокубоктаэдр
24 4,2 1, 0.414 18 (12) 2075 №59, большой ромбогексаэдр
24 4,2 1, 2.414 18 (12) 656 №42, малый ромбогексаэдр
24 4,3,2 1, 0.392, 0.867 66 (32) 15000 №49, квазиусеченный кубооктаэдр
24 4,3,2 1, 1.056, 1 65 (31) 15000 №13, ромбокубоктаэдр
24 4,3,2 1, 1.092, 1.153 66 (32) 15000 №15, ромбоусеченный кубооктаэдр
24 4,3,2 1, 2.210, 1 65 (31) 15000 №41, квазиромбокубоктаэдр
24- 4,3,1 1, 1.062, 1.062 274 15000 №17, курносый куб
Симметрия икосоэдра и додекаэдра
60 3 1 12 (10) 43 №4, икосаэдр
60 3 1 12 (10) 38 №22, большой икосаэдр
60 3,5+ 1, 0 24 (18) 1394 №45, малый икосогемидодекаэдр
60 3,5+ 1, 0 24 (18) 458 №62, большой икосогемидодекаэдр
60 5 1 4 4 №5, додекаэдр
60 5 1 4 4 №19, малый звездчатый додекаэдр
60 5 1 4 4 №20, большой додекаэдр
60 5 1 4 4 №21, большой звездчатый додекаэдр
60 5,5+ 1, 0 8 17 №47, малый додекогемидодекаэдр
60 5,5+ 1, 0 8 17 №63, большой додекогемидодекаэдр
60 5,5 1, 0.106 21 (19) 730 №53, квазиусеченный звездчатый додекаэдр
60 5,5 1, 0.236 18 (16) 218 №36, битригональный додекаэдр
60 5,5 1, 0.528 21 (19) 194 №31, усеченный большой додекаэдр
60 5,5 1, 0.618 20 (18) 177 №29, додекододекаэдр
60 5,3+ 1, 0 15 (13) 136 №56, малый додекогемиикосаэдр
60 5,3+ 1, 0 15 (13) 110 №58, большой додекогемиикосаэдр
60 5,3 1, 0.362 55 (35) 15000 №51, усеченный большой икосаэдр
60 5,3 1, 0.563 55 (35) 11326 №57, большой додекоикосаэдр
60 5,3 1, 0.679 50 (32) 15000 №50, большой икосододекаэдр
60 5,3 1, 0.938 49 (31) 3239 №26, малый битригональный икосододекаэдр
60 5,3 1, 0.974 55 (35) 5177 №9, усеченный икосаэдр
60 5,3 1, 1.098 50 (32) 62784 №12, икосододекаэдр
60 5,3 1, 1.17 55 (35) 5343 №10, усеченный додекаэдр
60 5,3 1, 1.402 55 (35) 5409 №60, квазиусеченный большой звездчатый додекаэдр
60 5,3 1, 2.384 55 (35) 15000 №46, малый додекоикосаэдр
60 5,3 1, 3.973 49 (31) 11740 №43, большой битригональный икосододекаэдр
60 5,5,3 1, 0.835, 0.713 137 (69) 15000 №39, икосододекододекаэдр
60 5,5,3 1, 0.745, 0.872 134 (68) 15000 №55, большой додекоикосододекаэдр
60 5,5,3 1, 0.618, 0.911 141 (71) 15000 №40, икосододекоусеченный икосододекаэдр
60 5,5,3 1, 0.359, 0.989 140 (70) 15000 №38, малый битригональный додекоикосододекаэдр
60 5,5,3 1, 0.789, 1.027 140 (70) 15000 №37, большой битригональный додекоикосододекаэдр
60 5,5,3 1, 0.745, 1.045 134 (68) 15000 №28, малый додекоикосододекаэдр
60 5,3,3 1, 0.989, 0.855 237 (93) 15000 №27, малый икосоикосододекаэдр
60 5,3,3 1, 1.301, 0.713 237 (93) 15000 №44, большой икосоикосододекаэдр
60 3,2 1, 1.291 231 (75) 15000 №52, ромбоикосаэдр
60 5,2 1, 0.325 120 (52) 15000 №65, большой ромбододекаэдр
60 5,2 1, 1.376 120 (52) 15000 №30, малый ромбододекаэдр
60 5,5,2 1, 0.835, 0.921 278 (96) 15000 №32, ромбододекододекаэдр
60 5,5,2 1, 0.236, 0.975 281 (95) 15000 №54, квазиусеченный додекаэдр
60 5,3,2 1, 0.252, 0.906 458 (130) 458 №64, большой квазиусеченный икосододекаэдр
60 5,3,2 1, 0.872, 0.242 422 (124) 15000 №61, квазиромбоикосододекаэдр
60 5,3,2 1, 1.045, 1.026 422 (124) 15000 №14, ромбоикосододекаэдр
60 5,3,2 1, 1.066, 1.086 458 (130) 15000 №16, ромбоусеченный икосододекаэдр
60 5,3,1+ 1, 0.863, 0 287 (85) 287 №75, большой биромбоикосододекаэдр
60- 5,5,1 1, 0.061, 0.934 1488 1488 №70, вывернутый курносый додекододекаэдр
60- 5,5,1 1, 0.817, 0.979 1488 1488 №67, курносый додекододекаэдр
60- 5,3,1 1, 0.226, 0.226 1940 1940 №73, большой вывернутый обратнокурносый икосододекаэдр
60 5,3,1 1, 0.252, 0.252 1565 (257) 1565 №74, малый вывернутый обратнокурносый икосоикосододекаэдр
60- 5,3,1 1, 0.770, 0.77 1940 1940 №72, большой курносый икосододекаэдр
60- 5,3,1 1, 0.863, 0.863 1803 1803 №71, большой курносый додекоикосододекаэдр
60- 5,3,1 1, 0.924, 0.924 1940 1940 №69, большой вывернутый курносый икосододекаэдр
60 5,3,1 1, 0.984, 0.984 1565 (257) 1565 №66, малый курносый икосододекаэдр
60- 5,3,1 1, 1.049, 1.049 1940 1940 №18, курносый додекаэдр
60- 5,5,3,1 1, 0.742, 0.971, 0.971 2781 2781 №68, курносый икосододекододекаэдр
Псевдоварианты ромбокубоктаэдров
8 4,1,1,1 1, 1.056, 1.000, 1 220 (44) 15000 №13', псевдоромбокубоктаэдр
8 4,1,1,1 1, 2.210, 1.000, 1 220 (44) 15000 №41', псевдоквазиромбокубоктаэдр
Призмы
6 3,2 1, 0.577 1 1 №76, призма-3
8 4,1 1, 1.394 9 (5) 43 №84, антипризма-4
10 5,2 1, 0.325 2 2 №92, звездчатая призма 5/2
10 5,2 1, 1.376 2 2 №77, призма-5
10 5,1 1, 0.795 13 (9) 161 №99, звездчатая антипризма 5/2
10 5,1 1, 1.777 11 (7) 77 №85, антипризма-5
12 6,2 1, 1.732 2 2 №78, призма-6
12 6,1 1, 2.155 20 (10) 1210 №86, антипризма-6
14 7,2 1, 0.228 3 3 №94, звездчатая призма 7/3
14 7,2 1, 0.797 3 3 №93, звездчатая призма 7/2
14 7,2 1, 2.077 3 3 №79, призма-7
14 7,1 1, 0.724 22 (12) 1416 №101, звездчатая антипризма 7/3
14 7,1 1, 1.199 25 (15) 4471 №100, звездчатая антипризма 7/2
14 7,1 1, 2.53 22 (12) 1950 №87, антипризма-7
16 8,2 1, 0.414 3 3 №95, звездчатая призма 8/3
16 8,2 1, 2.414 3 3 №80, призма-8
16 8,1 1, 0.864 34 (16) 5704 №102, звездчатая антипризма 8/3
16 8,1 1, 2.903 34 (16) 15000 №88, антипризма-8
18 9,2 1, 1.192 4 4 №96, звездчатая призма 9/2
18 9,2 1, 2.747 4 4 №81, призма-9
18 9,1 1, 1.586 40 (22) 9160 №103, звездчатая антипризма 9/2
18 9,1 1, 3.274 36 (18) 15000 №89, антипризма-9
20 10,2 1, 0.727 4 4 №97, звездчатая призма 10/3
20 10,2 1, 3.078 4 4 №82, призма-10
20 10,1 1, 1.133 51 (23) 15000 №104, звездчатая антипризма 10/3
20 10,1 1, 3.645 51 (23) 15000 №90, антипризма-10
22 11,2 1, 1.556 5 5 №98, звездчатая призма 11/2
22 11,2 1, 3.406 5 5 №83, призма-11
22 11,1 1, 1.966 58 (30) 15000 №105, звездчатая антипризма 11/2
22 11,1 1, 4.016 53 (25) 15000 №91, антипризма-11

zvzd3d.ru © 2013-2015